ساده کردن کسرها

ساده کردن کسرها به این معناست که صورت و مخرج کسر را بر یک عدد مشترک تقسیم کنیم تا کوچک‌ترین حالت ممکن با اعداد صحیح به دست آید، به طوری که صورت و مخرج عامل مشترکی به جز 1 نداشته باشند. نکته مهم این است که با وجود ساده‌سازی، مقدار کسر تغییری نمی‌کند. به عبارت دیگر، کسر اصلی و کسر ساده‌شده دو نسبت مساوی هستند. در این آموزش، با روش‌های ساده و کاربردی برای ساده کردن کسرها آشنا خواهید شد.

ساده کردن کسرها چیست؟

ساده کردن کسرها به معنای تبدیل آن به شکلی است که صورت و مخرج آن هیچ عامل مشترکی به جز عدد 1 نداشته باشند. به بیان دیگر، یک کسر زمانی در ساده‌ترین حالت خود قرار دارد که صورت و مخرج نسبت به یکدیگر اول باشند، یعنی هیچ مقسوم‌علیه مشترکی غیر از 1 نداشته باشند.

ساده‌ترین شکل یک کسر با کسر اولیه‌ای که ساده کرده‌ایم، برابر یا معادل است. به عنوان مثال، کسر 3/5 در ساده‌ترین حالت خود قرار دارد، زیرا بین 3 و 5 هیچ عامل مشترکی جز عدد 1 وجود ندارد. در ادامه، مراحل ساده کردن کسرها را به صورت گام به گام بررسی خواهیم کرد.

ساده کردن کسرها با کمک عوامل اول

پیش از آنکه به روش ساده کردن کسرها بپردازیم، بهتر است ابتدا مفهوم عامل یا مقسوم‌علیه را درک کنیم.

عامل یا مقسوم علیه چیست؟

مقسوم‌ علیه یا عامل در ریاضیات به عددی گفته می‌شود که یک عدد دیگر بر آن قابل تقسیم است. به عبارتی دیگر، عامل‌ها اعدادی هستند که با ضرب آن‌ها در یکدیگر می‌توان به عدد مورد نظر دست یافت. به عنوان مثال، عامل‌های عدد 6 عبارتند از:

یا عدد 50 را می‌ توان اینگونه نوشت:

برای نوشتن عوامل یک عدد، باید بررسی کنیم که آن عدد بر چه اعداد اولی قابل تقسیم است. برای این کار، از کوچک‌ترین عدد اول یعنی 2 شروع کرده و عدد را بر آن تقسیم می‌کنیم. به عنوان مثال، فرض کنید می‌خواهیم عوامل اول عدد 24 را پیدا کنیم. ابتدا با عدد 2 شروع می‌کنیم و بررسی می‌کنیم که آیا 24 بر 2 بخش‌پذیر است:

6 را نیز می‌ توان به‌ صورت  حاصل‌ ضرب دو عدد 2 و 3 نوشت (3×2=6). بنابراین، برای عدد 24، داریم:

بیشتر بخوانید: مباحث تست خیز ریاضی

مراحل ساده کردن کسرها با کمک عوامل اول

روش گام به گام ساده کردن کسرها را با یک مثال توضیح می‌ دهیم. فرض کنید قصد داریم کسر 8/12 را ساده کنیم.  برای این کار، کسر 8/12 را در نظر بگیرید و مراحل زیر را دنبال کنید تا با نحوه ساده کردن یک کسر آشنا شوید.

مرحله 1: عوامل (مقسوم‌علیه‌ های) صورت و مخرج را بنویسید.

هر عدد مقسوم‌علیه‌ های متعددی دارد، اما در اینجا تنها مقسوم‌ علیه‌ های اول را در نظر می‌گیریم؛ یعنی اعدادی که فقط بر خودشان و عدد 1 قابل تقسیم هستند. به عنوان مثال، مقسوم‌علیه‌های اول عدد 12 عبارتند از:

عدد 12 را به‌صورت زیر نیز می‌ توانیم بنویسیم،

اما برای یادگیری بهتر، فقط عوامل اول را در نظر می‌ گیریم:

صورت کسر عدد 8 و مخرج عدد 12 است. در نتیجه ، باید عوامل 8 و 12 را باید بنویسیم. عوامل اول 12 را تعیین کردیم. کافی است عوامل اول 8 را تعیین کنیم:

بنابراین، عوامل به‌ صورت زیر هستند:

• عوامل 8: 2 و 2 و 2
• عوامل 12: 2 و 2 و 3

مرحله 2: صورت و مخرج را برحسب عوامل اول بنویسید:

عوامل مشترک صورت و مخرج را با هم حذف کنید تا زمانی که هیچ عامل مشترکی به جز 1 وجود نداشته باشد. کسری که به‌دست می‌آید به ساده‌ترین شکل ممکن است.

بنابراین، 2/3 ساده‌ترین شکل کسر12 /8 است.

بیشتر بخوانید: صفر تا صد قدر مطلق ریاضی نهم

ساده کردن کسر ها با کمک ب م م

ساده کردن کسر به معنای کاهش آن به ساده‌ترین شکل ممکن است. یکی از سریع‌ ترین روش‌ ها برای یافتن این شکل، استفاده از بزرگ‌ترین مقسوم‌علیه مشترک (ب.م.م) است. برای انجام این کار، مراحل زیر را دنبال کنید:

مرحله 1: عوامل اول یا مقسوم‌علیه‌های صورت و مخرج را مشخص کنید.

مرحله 2: بزرگ‌ترین مقسوم‌علیه مشترک (ب.م.م) بین صورت و مخرج را پیدا کنید.

مرحله 3: صورت و مخرج کسر را بر ب.م.م تقسیم کنید. کسر حاصل، ساده‌ترین شکل ممکن خواهد بود.

به‌عنوان مثال، کسر 8/24 را در نظر بگیرید. ب.م.م دو عدد 8 و 24 برابر با 8 است. با تقسیم صورت (8) و مخرج (24) بر 8، به کسر 1/3 می‌رسیم که ساده‌ترین شکل آن است. بنابراین، کوتاه‌ترین روش برای ساده کردن کسر، تقسیم صورت و مخرج بر ب.م.م آن‌هاست.

ساده کردن کسرهای دارای متغیر

اکنون یک روش آسان‌ تر و سریع‌ تر برای ساده کردن کسرها معرفی می‌ کنیم. این روش مشابه روش قبلی است اما روند ساده‌ سازی کسر را با سرعت بیشتری انجام می‌دهد و می‌توان یک کسر پیچیده را تا حد امکان ساده کرد. به شکل زیر توجه کنید، در این مثال، سه ششم از یک پیتزا را نمایش داده‌ایم.

ساده کردن کسرهای دارای توان

ما می‌توانیم کسرهایی که دارای توان در صورت و مخرج هستند را نیز ساده کنیم. برای این کار، از بسط صورت و مخرج استفاده می‌کنیم تا ساده‌سازی کسرهایی با اعداد توان‌دار امکان‌پذیر شود. گاهی برای سهولت در نوشتن و خواندن اعداد، از نماها (توان‌ها) استفاده می‌شود.

فرض کنید کسری به شکل

را داریم. برای ساده‌سازی، صورت و مخرج را به‌صورت حاصل‌ ضرب اعداد بسط می‌ دهیم و سپس عوامل مشترک را در صورت و مخرج حذف می‌ کنیم.

بنابراین، مشاهده کردیم که ساده‌ سازی کسرها با اعداد توان‌ دار فرایندی آسان و قابل فهم است.

ساده کردن کسرهای مخلوط

کسر مخلوط یا عدد مخلوط از یک عدد صحیح و یک کسر سره (کسری که مخرج آن بزرگ‌تر از صورتش باشد) تشکیل می‌ شود. برای ساده‌سازی یک کسر مخلوط، کافی است فقط قسمت کسری را ساده کنید. برای این منظور، صورت و مخرج کسر را به‌ صورت حاصل‌ ضرب عوامل تجزیه کرده و سپس عوامل مشترک را حذف کنید. نتیجه نهایی عدد جدید به همراه مخرج ساده‌ شده کسر مخلوط خواهد بود.

ساده کردن کسرهای ناسره

کسرهای ناسره کسرهایی هستند که صورت آن‌ها بزرگ‌ تر یا مساوی مخرجشان باشد. برای ساده کردن کسرهای ناسره، مانند کسرهای عادی عمل می‌کنیم. مثلاً کسر 12/​ 15 را این‌گونه ساده می‌کنیم:

یک روش دیگر این است که ابتدا این کسرها را به کسرهای مخلوط تبدیل کنیم. برای انجام این کار، کافی است صورت را بر مخرج تقسیم کنیم. سپس با قرار دادن خارج‌قسمت به عنوان عدد صحیح، باقیمانده به عنوان صورت و مخرج اصلی به عنوان مخرج، کسر را به شکل عدد مخلوط بنویسیم. به مثال زیر توجه کنید تا این مفهوم بهتر درک شود.

به عنوان مثال، برای ساده کردن کسر ناسره 11/4 ابتدا 11 را بر 4 تقسیم می‌ کنیم و پس از انجام تقسیم، ضریب و باقیمانده را به دست می‌آوریم. وقتی 11 را بر 4 تقسیم می‌ کنیم، 2 به عنوان خارج‌قسمت و 3 به عنوان باقیمانده حاصل می‌ شود. بنابراین، کسر ناسره 11/4 به صورت عدد مخلوط  3/4 2 نوشته می‌ شود.